✎ Du signe de la dérivée au sens de variations

Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction dérivable, on étudie le signe de sa fonction dérivée puis on applique le théorème qui met en relation le signe de la dérivée et les variations de la fonction sur un intervalle donné.

Exemple 1

Soit  \(f\)  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\)  par   \(f(x)=x^3-2x^2+5x+1\) . 
La fonction  \(f\)  est dérivable sur  \(\mathbb{R}\)   et, pour tout  \(x\in\mathbb{R}\) ,  \(f'(x)=3x^2-4x+5\) . 

\(f'\) est une fonction polynôme de degré  \(2\)  et son discriminant est \(\Delta=(-4)^2-4\times3\times5=-44<0\) . Le coefficient du terme de degré \(\text 2\) est \(\text 3\) , qui est positif, ainsi, pour tout  \(x\in\mathbb{R}\) ,  \(f'(x)>0\) . 
On en déduit que la fonction  \(f\)  est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)   .

Exemple 2

Soit  \(g\)  la fonction définie sur  \(\left]-\infty;1\right[\cup\left]1;+\infty \right[\)  par     \(g(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x-1}\) .
La fonction  \(g\)  est dérivable sur chacun des intervalles  \(\left]-\infty;1\right[\) et  \(\left]1;+\infty \right[\) et, pour tout  \(x\in\left]-\infty;1\right[\cup\left]1;+\infty \right[\) , on a 

\(g^{\prime}(x)=\dfrac{(2x-4)(x-1)-(x^2-4x+7)\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{2x^2-6x+4-x^2+4x-7}{(x-1)^2}\) soit \(g'(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\) . 

Comme \((x-1)^2>0\)   sur  \(\left]-\infty;1\right[\cup\left]1;+\infty \right[\) , \(g'(x)\)  est du signe de son numérateur : \(x^2-2x-3\)   qui s'annule en  \(-1\)  et  \(3\) .
On dresse le tableau de signes de  \(g'(x)\)  puis de variations de  \(g\) .